Deformațiile liniare relative în sistemele de proiecție Stereografic 1970, Gauss-Krüger, UTM și comparații între acestea

În general, hărțile topo – cadastrale existente în prezent pentru teritoriul României, sunt întocmite folosind unul dintre sistemele de proiecție cartografică: Stereografica – 1970, Gauss-Krüger sau UTM (Universal Transversal Mercator). Fiecare dintre aceste sisteme de proiecție cartografica prezintă atât avantaje cat și dezavantaje. Unul dintre criteriile de bază in adoptarea unei proiecții cartografice pentru un anumit teritoriu cadastral este ca deformația liniară relativă să fie cât mai mică pentru acea zonă geografică. Având la bază acest criteriu, articolul de față își propune să prezinte implicațiile din punct de vedere al deformațiilor, pe care fiecare proiecție din cele amintite le generează, precum și o analiză comparativă între acestea, care să redea din punct de vedere grafic, cat mai sugestiv, avantajele reprezentării cartografice în fiecare caz în parte.

Proiecția Stereografică pe plan secant unic 1970

Această proiecție a fost adoptata de către țara noastră în anul 1973 fiind folosită și în prezent. Are la bază elementele elipsoidului Krasovski-1940 și planul de referință pentru cote Marea Neagră–1975. A fost folosită la întocmirea planurilor topografice de bază la scările 1:2.000, 1:5.000 și 1:10.000, precum și a hărților cadastrale la scara 1:50.000.
Dintre elementele caracteristice proiecției Stereo70 amintim:

• Punctul central al proiecției;
• Adâncimea planului de proiecție;
• Deformațiile lungimilor.

Punctul central al proiecției (polul proiecției) este un punct fictiv, care nu este materializat pe teren, situat aproximativ in centrul geometric al teritoriului României, la nord de orașul Făgăraș. Coordonatele geografice ale acestui punct sunt de 25˚ longitudine estică si de 46˚ latitudine nordica.

Adâncimea planului de proiecție este de aproximativ 3.2 km față de planul tangent la sfera terestră în punctul central. În urma intersecției dintre acest plan și sfera terestră de raza medie s-a obținut un cerc al deformațiilor nule cu raza apropiata de 202 km.

Deformația relativă pe unitatea de lungime (1 km) în punctul central al proiecției este egală cu -25 cm/km și crește odată cu mărirea distanței față de acesta pană la valoara zero pentru o distanță de aproximativ 202 km. După această distanță valorile deformației relative pe unitatea de lungime devin pozitive și ating valoarea de 63,7 cm/km la o departare de centrul proiecției de aproximativ 385 km.

Adoptarea proiecției Stereo70 a urmărit o serie de principii care satisfac cerințele de precizie și cateva aspecte specifice teritoriului României dintre care amintim:

• Teritoriul României are o formă aproximativ rotundă și poate fi încadrat într-un cerc cu raza de 400 km;

• Limitele de hotar sunt încadrate, în cea mai mare parte ( 90 %), de un cerc de rază 280 km și centru în polul proiecției;

• Proiecția este conformă (unghiurile sunt reprezentate nedeformat);

• Deformațiile areolare negative și pozitive sunt relativ egale, ceea ce permite o compensare a lor, adică prin reprezentarea in planul Proiecției Stereo70 este menținută suprafața totală a teritoriului.

Deformația liniară poate fi apreciată din punct de vedere cantitativ cu ajutorul formulei:

D _sec = D ₀ + L ² / 4R ² +L ⁴ / 24R ⁴ + …[km/km], unde:

• D _sec este deformația regională sau liniară relativă pe unitatea de lungime (1km) în plan secant;
• D ₀ = -0.000 250 000 km / km este deformația din punctul central al proiecției în plan secant;
• L este distanța de la punctul central al proiecție Stereografice 1970 la punctul din mijlocul laturii trapezului sau a distanței măsurate pe suprafața terestră;
• R = 6 378, 956 681 km este raza medie de curbură a sferei terestre pentru punctul central al proiecției.

Modul în care se realizează proiecția punctelor de pe suprafața terestră pe planul proiecției Stereografice 1970 este prezentat în figura 1 .

r – raza cercului deformațiilor nule (aprox. 202 km);
H – Adâncimea planului de proiecție (aprox. 3.2 km);
1, 2, 3, …,9 – puncte de pe suprafața terestră;
1’,2’,3’,…,9’ – puncte de pe suprafața planului de proiecție Stereografic 1970.

Figura 1 – Proiecția punctelor de pe suprafața terestră pe planul proiecției Stereografice 1970.

Pentru a putea vizualiza mai ușor mărimea și caracterul deformațiilor liniare s-au utilizat culori diferite in reprezentarea planului de proiecție Stereografic 1970 astfel:

• culoarea roșu pentru valori negative ale deformațiilor (distanța din teren > distanța plan proiecție);
• culoarea galben pentru valori aproximativ egale cu zero ale deformațiilor (distanța teren ~ distanța plan proiecție);
• culoarea albastră pentru valori pozitive (distanța teren < distanța plan proiecție).

Distanțelelor, egale între ele, de pe suprafața terestră (12), (23), (34), (45), (56), (67), (78), (89) le corespund distanțele (1’2’), (2’3’), (3’4’), (4’5’), (5’6’), (6’7’), (7’8’), (8’9’) din planul proiecției. Între cele două categorii de distanțe se pot scrie următoarele inegalități:

• (1’2’)<(2’3’)<(3’4’)< (4’5’)<(5’6’)<(6’7’)<(7’8’)<(8’9’);
• (1’2’)<(12); (2’3’)<(23); (3’4’)<(34); (4’5’)<(45); (5’6’)≈(56); (6’7’)<(67); (7’8’)>(78); (8’9’)> (89).

Pentru a obține informații privitoare la marimea diferenței dintre cele două tipuri de distanțe este necesară o reprezentare grafică a funcției D _sec = F (L), descrisă anterior, folosind urmatoarea diagramă:

Diagrama deformațiilor liniare relative în proiecția Stereografică 1970

Proiecția Gauss-Krüger

Această proiecție a fost concepută în anii 1825-1830 de către matematicianul german Karl Friedrich Gauss, iar mai târziu, în anul 1912, Johannes Krüger a elaborat formulele necesare pentru trecerea trecerea coordonatelor punctelor de pe elipsoidul de rotație în planul de proiecție.

În România proiecția Gauss a fost introdusă în anul 1951, când s-a adoptat și elipsoidul de referință Krasovski-1940. Sistemul de proiecție s-a folosit la întocmirea planului topografic de bază la scara 1:10.000, a hărții topografice de bază la scara 1:25.000, precum și a hărților unitare la diferite scări, până în anul 1973.
Ca principii generale amintim:

• Se consideră elipsoidul de rotație ca formă matematică a Pământului, iar pentru proiectare, suprafața interioară desfășurată în plan a unui cilindru imaginar, tangent la un meridian, adică în poziție transversală ( figura 2 );
• Pentru reprezentarea unitară a elipsoidului terestru în planul de proiecție au fost stabilite meridianele de tangență pentru întregul Glob, rezultând un număr de 60 de fuse geografice de câte 6° longitudine, începând cu meridianul de origine Greenwich;
• Pentru proiectarea celor 60 de fuse se consideră elipsoidul înfașurat în 60 de cilindri succesivi, în poziție orizontală, unde fiecare cilindru este tangent la merdianul axial corespunzător fusului.

Figura 2 – Proiecția Gauss-Kruger

Deformația liniară relativă se exprimă cu ajutorul formulei:

D _Gauss = L ² / 2R ² +L ⁴ / 24R ⁴ + …[km/km], unde:

• D _Gauss este deformația liniara relativă în proiecția Gauss;
• R este raza medie de curbură în punctul considerat;
• y=(y-y ₀ ) este distanța punctului dat față de meridianul axial.

Se observa din această formulă și din diagrama de mai jos că în proiecția Gauss deformațiile liniare relative sunt pozitive și direct proporționale cu distanța fața de meridianul axial.

Diagrama deformațiilor liniare relative în proiecția Gauss-Kruger

Proiecția UTM (Universal Transversal Mercator)

Această proiecție este o variantă a proiecției Gauss-Krüger, utilizată în Statele Unite ale Americii și în alte țări, având o importanță deosebită în ultimul timp și pentru România datorită integrării în noile structuri politice și militare.

Reprezentarea cartografică se face pe fuse de 6° longitudine, în intervalul delimitat de paralele de 80° latitudine sudică și 84° latitudine nordică. Elipsoidul de referință adoptat pentru reprezentarea suprafeței Pământului în planul proiecției este elipsoidul internațional WGS – 84.

Ca principiu de reprezentare, se consideră un cilindru în poziție transversală care intersectează suprafața elipsoidului după două meridiane de secanță, simetrice față de meridianul axial al fusului de 6° ( figura 3 ).

Figura 3 – Proiecția UTM

Deformația liniară relativa se exprimă cu ajutorul formulei:

D _UTM =k(D _Gauss +1)-1 = k(L ² / 2R ² +L ⁴ / 24R ⁴ +1)-1 [km/km], unde:

• D _UTM este deformația liniară relativă în proiecția UTM;
• D _Gauss este deformația liniară relativă în proiecția Gauss;
• R este raza medie de curbură în punctul considerat;
• y=(y-y ₀ ) este distanța punctului dat față de meridianul axial;
• k este valoare care exprimă raportul constant dintre distanțele din planul proiecției UTM și cele din planul proiecției Gauss.

Folosind această formulă, pentru deformația liniară în proiecția UTM, se obțin valori care sunt direct proporționale cu distanța față de meridianul axial și cresc începând de la valoarea negativă -40 cm/km conform cu diagrama de mai jos:

Diagrama deformațiilor liniare relative în proiecția UTM

Hărți tematice ale sistemelor de proiecție Stereografic 1970, Gauss-Krüger și UTM

Având la dispoziție informațiile prezentate până acum se pot realiza hărți tematice (figurile 4, 5 și 6) pentru întreg teritoriul Romaniei în care sunt reprezentate, cu ajutorul unor scări de culori, valorile deformațiilor liniare relative în cele trei sisteme de proiecție, pentru fiecare celulă (suprafața în forma de pătrat cu latura de 1 km). Pe aceaste hărți au mai fost reprezentate limitele administrative ale județelor și principalele localități. A citi valoarea unei celule pe o asemenea hartă poate fi o operație destul de anevoioasă de aceea am considerat necesară trasarea izoliniilor deformațiilor liniare relative și întocmirea unui tabel care să conțină, pentru fiecare localitate reprezentată pe hartă, valoarea medie a deformației.

Figura 4 – Harta deformațiilor liniare relative pe teritoriul României în proiecția Stereografica 1970.

Figura 5 – Harta deformațiilor liniare relative pe teritoriul României în proiecția Gauss-Krüger.

Figura 6 – Harta deformațiilor liniare relative pe teritoriul României în proiecția UTM.

Comparații între sistemele de proiecție Stereografic 1970, Gauss-Krüger și UTM

Pornind de la hărțile tematice ale deformațiilor liniare relative în proiecțiile Stereografică 1970, Gauss-Krüger și UTM s-au realizat o serie de hărți comparative între aceste sisteme. Pentru ușurință, în continuare se vor nota valorile deformațiilor liniare relative ale celulelor (suprafața în forma de pătrat cu latura de 1 km) care alcătuiesc suprafața României cu literele “S”, “G” și “U” pentru proiecțiile Stereografică 1970, Gauss-Krüger, respectiv UTM. Hărțile comparative s-au realizat între toate sistemele de proiecție (SGU), precum și între grupuri de câte două ale acestora (SG, SU, GU).
SGU ( figura 8 ) s-a întocmit pe baza valorilor minime ale deformațiilor dintre toate cele trei sisteme de proiecție. Astfel s-a obținut o hartă care indică pentru fiecare zonă (celulă) a teritoriului României care proiecției are deformația liniară relativă cea mai mică.
SG, SU și GU s-au întocmit cu ajutorul raportului sau diferenței valorilor deformațiilor dintre sistemele de proiecție componente. În acest mod s-au obținut câte două hărți tematice comparative (una pentru diferență (d) și alta pentru raport ®) pentru fiecare din cele trei grupuri: SGd ( figura 9 ), SGr ( figura 10 ), SUd ( figura 11 ), SUr ( figura 12 ), GUd ( figura 13 ), GUr ( figura 14 ). SGd scoate în evidență cu cât valorile din S sunt mai mici sau mai mari decăt G, iar SGr de câte ori S este mai mare sau mai mic decât G. Același lucru este valabil și pentru SUd, SUr, GUd și GUr.
Modul, formulele care s-au folosit pentru realizarea hărților comparative, precum și un exemplu numeric (valorile aproximative exprimate în cm/km ale deformațiilor liniare relative din municipiul Câmpulung Moldovenesc) sunt prezentate în diagrama de mai jos:

Figura 7 – Schema realizarării hărților comparative.

Pentru a interpreta hărțile tematice mult mai ușor și a oferi informații suplimentare legate de acestea vom considera în continuare exemplul SG și deformațiile liniare relative pentru municipiul Câmpulung Moldovenesc. În cazul SGd obținem |-5.7| – |14.3| = – 8.6. Luând în considerare valorile absolute se observă că deformația liniară relativă în proiecția Stereo70 este mai mică cu 8.6 (cm/km) față de cea în proiecția Gauss. Pentru a scoate în evidență, pe hărțile tematice, care dintre proiecții are valoarea deformației liniare relative mai mică decăt cealaltă s-au folosit scări de culori astfel: nuanțe de roșu pentru zonele în care |S|<|G|, nuanțe de galben pentru zonele în care |S|≈|G| și nuanțe de albastru pentru zonele în care |S|>|G|. Deci, pentru formula aplicată la aceasta hartă tematică valorile negative sunt reprezentate cu nuanțe de roșu, iar cele pozitive cu nuanțe de albastru. Același lucru s-a realizat și pentru cazul SGr, numai că valoarea de “rupere a nuanțelor” este egală cu unitatea. Pentru exemplul considerat se obține valoarea |5.7| / |14.3| = 0.4 care, conform celor spuse anterior, va fi reprezentată cu o nuanță de roșu. Valorile de acest gen, adică cele mai mici decăt unitatea, au fost transformate în inversele lor pentru a se citi mai ușor informația utilă. În cazul de față 0.4 a devenit 1 / 0.4 = 2.5, adică valoarea deformației liniare relative în proiecția Stereo70 este de 2.5 ori mai mică decât cea în proiecția Gauss.

Prin analogie, raționamentul anterior se extinde și la SU și GU.

În cazul SGU obținem min (|-5.7|, |14.3|, |-25.4|) = 5.7. Deci, valoarea deformației liniare relative cea mai mică dintre cele trei sisteme de proiecție luate în calcul este 5.7 cm/km și se obține folosind sistemul de proiecție Stereografic 1970. Pentru a ști din ce sistem de proiecție este obținută valoarea minimă, la harta tematică au fost folosite trei scări de culori astfel: albastru pentru proiecția Stereografică 1970, verde pentru Gauss și roșu pentru UTM.

Figura 8 – Harta comparativă a deformațiilor liniare relative între proiectiile Stereografică 1970 și Gauss-Krüger realizată cu ajutorul diferențelor valorilor absolute ale deformațiilor corespunzatoare celor două proiecții.

Figura 9 – Harta comparativă a deformațiilor liniare relative între proiectiile Stereografică 1970 și Gauss-Krüger realizată cu ajutorul valorii absolute a raportului deformațiilor corespunzatoare celor două proiecții.

Figura 10 – Harta comparativă a deformațiilor liniare relative între proiectiile Stereografică 1970 și UTM realizată cu ajutorul diferențelor valorilor absolute ale deformațiilor corespunzatoare celor două proiecții.

Figura 11 – Harta comparativă a deformațiilor liniare relative între proiectiile Stereografică 1970 și UTM realizată cu ajutorul valorii absolute a raportului deformațiilor corespunzatoare celor două proiecții.

Figura 12 – Harta comparativă a deformațiilor liniare relative între proiectiile Gauss-Krüger și UTM realizată cu ajutorul diferențelor valorilor absolute ale deformațiilor corespunzatoare celor două proiecții.

Figura 13 – Harta comparativă a deformațiilor liniare relative între proiecțiile Gauss-Krüger și UTM realizată cu ajutorul valorii absolute a raportului deformațiilor corespunzatoare celor două proiecții..

Figura 14 – Harta deformațiilor liniare relative minime dintre proiecțiile Stereografică 1970, Gauss-Krüger și UTM folosind valorile absolute ale acestora.

Concluzie

Prin realizarea hărților tematice ale deformațiilor liniare relative în cazul principalelor proiecții cartografice utilizate în țara noastră, precum și a hărților de comparație între acestea, se poate obține o interpretare adecvată din punct de vedere vizual a zonelor favorizate, cu posibilitatea de a extrage în mod direct valori numerice pentru puncte de interes de pe cuprinsul teritoriului țării. De asemenea, mediul GIS în care au fost executate aceste hărți tematice, permite efectuarea unor analize a suprafețelor și o statistică la nivelul principalelor localități care să scoată în evidență din punct de vedere procentual, avantajele utilizării uneia sau alteia dintre proiecțiile cartografice amintite.

Bibliografie

• Bofu Constantin, Chirilă Constantin (2007). Sisteme informaționale geografice.Cartografierea și editarea hărților. Editura Tehnopress – Iași.
• Moca Valeriu, Chirilă Constantin (2002). Cartografie matematică. Întocmire și redactare hărți. Suport de curs.